Распределительное свойство умножения относительно сложения. Свойства умножения

Начертим на листке в клетку прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см. Разобьем его на квадраты со стороной 1 см (рис. 143 ). Подсчитаем количество клеток, расположенных в прямоугольнике. Это можно сделать, например, так.

Количество квадратов со стороной 1 см равно 5 * 3 . Каждый такой квадрат состоит из четырех клеток. Поэтому общее число клеток равно (5 * 3 ) * 4 .

Эту же задачу можно решить иначе. Каждый из пять столбцов прямоугольника состоит из трех квадратов со стороной 1 см. Поэтому в одном столбце содержится 3 * 4 клеток. Следовательно, всего клеток будет 5 * (3 * 4 ).

Подсчет клеток на рисунке 143 двумя способами иллюстрирует сочетательное свойство умножения для чисел 5, 3 и 4 . Имеем: (5 * 3 ) * 4 = 5 * (3 * 4 ).

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

(ab)c = a(bc)

Из переместительного и сочетательно свойств умножения следует, что при умножении нескольких чисел множители можно менять местами и заключать в скобки, тем самым определяя порядок вычислений .

Например, верны равенства:

abc = cba,

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

На рисунке 144 отрезок AB делит рассмотренный выше прямоугольник на прямоугольник и квадрат.

Подсчитаем количество квадратов со стороной 1 см двумя способами.

С одной стороны, в образовавшемся квадрате их содержится 3 * 3, а в прямоугольнике − 3 * 2 . Всего получим 3 * 3 + 3 * 2 квадратов. С другой стороны, в каждой из трех строчек данного прямоугольника находится 3 + 2 квадрата. Тогда их общее количество равно 3 * (3 + 2 ).

Равенсто 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 иллюстрирует распределительное свойство умножения относительно сложения .

Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

В буквенном виде это свойство записывают так:

a(b + c) = ab + ac

Из распределительного свойства умножения относительно сложения следует, что

ab + ac = a(b + c).

Это равенство позволяет формулу P = 2 a + 2 b для нахождения периметра прямоугольника записать в таком виде:

P = 2 (a + b).

Заметим, что распределительное свойство справедливо для трех и более слагаемых. Например:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

Также справедливо распределительное свойство умножения относительно вычитания: если b > c или b = c, то

a(b − c) = ab − ac

Пример 1 . Вычислите удобным способом:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1 ) Используем переместительное, а затме сочетательное свойства умножения:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2 ) Имеем:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Пример 2 . Упростите выражение:

1 ) 4 a * 3 b;

2 ) 18 m − 13 m.

1 ) Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, получаем:

4 a * 3 b = (4 * 3 ) * ab = 12 ab.

2 ) Используя распределительное свойство умножения относительно вычитания, получаем:

18 m − 13 m = m(18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.

Пример 3 . Запишите выражение 5 (2 m + 7 ) так, чтобы оно не содержало скобок.

Согласно распределительному свойству умножения относительно сложения имеем:

5 (2 m + 7 ) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35 .

Такое преобразование называют раскрытием скобок .

Пример 4 . Вычислите удобным способом значение выражения 125 * 24 * 283 .

Решение. Имеем:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Пример 5 . Выполните умножение: 3 сут 18 ч * 6 .

Решение. Имеем:

3 сут 18 ч * 6 = 18 сут 108 ч = 22 сут 12 ч.

При решении примера было использовано распределительное свойство умножения относительно сложения:

3 сут 18 ч * 6 = (3 сут + 18 ч) * 6 = 3 сут * 6 + 18 ч * 6 = 18 сут + 108 ч = 18 сут + 96 ч + 12 ч = 18 сут + 4 сут + 12 ч = 22 сут 12 ч.

Определение. Умножение - это действие в результате которого находят сумму одинаковых слагаемых. Умножить число а на число Ь означает найти сумму Ь слагаемых, каждое из которых равно а.

Числа, которые перемножаются, называются множителями (или сомножителями), а результат умножения - произведением.

При умножении натуральных чисел произведение всегда число положительное. Если один из множителей равен 0 (нулю), то произведение равно 0. Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен 0.

Если один из двух множителей равен 1 (единице), То произведение равно второму множителю.

• Например:
• 5 * 6 * 8 * 0 = 0
• 132 * 1 = 132

Законы умножения

Сочетательный закон

Правило. Чтобы произведение двух множителей умножить на третий множитель, можно первый множитель умножить на произведение второго и третьего множителей.

• Например:
• (7 * 6) * 5 = 7 * (6 * 5) = 210
• (a * b) * c = a * (b * c)

Переместительный закон

Правило. От перестановки множителей произведение не изменяется.

• Например:
• 7 * 6 * 5 = 5 * 6 * 7 = 210
• а * Ь * с = с * Ь * а

Распределительным закон

Правило. Чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое из слагаемых и полученные произведения сложить.

• Например:
• 7 * (6 + 5) = 7 * 6 + 7 * 5 = 77
• a * (b + c) = ab + ac

Распределительный закон распространяется и на действие вычитания.

• Например:
• 7 * (6 — 5) = 7 * 6 — 7 * 5 = 7

Законы умножении распространяются на любое количество множителей в числовом или буквенном выражении. Распределительный закон умножения используется для вынесения общего множителя за скобки.

Правило. Чтобы преобразовать сумму (разность) в произведение, достаточно вынести за скобки одинаковый множитель слагаемых, а оставшиеся множители записать в скобках суммой (разностью).

Математика в жизни часто бывает нужна. Но бывает так, что если вы и хорошо знали ее в школе, многие правила забываются. В этой статье мы вспомним свойства умножения.

Умножение и его свойства

Действие, результатом которого является сумма одинаковых слагаемых, называется умножение. То есть умножение числа Х на число Y, означает, что нужно определить суму Y слагаемых, каждое из которых будет равно Х. Числа, которые при этом перемножаются, называют множителями (сомножителями), результат умножения называется произведением.

Например,

548х11 = 548 + 548 + 548 + 548 + 548 + 548 + 548 + 548 + 548 (11 раз)

• Если в умножении участвуют натуральные числа, то результатом такого умножения всегда будет число положительное.
• В случае, если один из нескольких множителей 0 (ноль), то и произведение этих множителей будет равно нулю. И наоборот, если результат произведения 0, то нулю должен быть равен один из множителей.
• В случае, когда один из данных множителей равняется 1 (единице), то произведение их будет равняться второму множителю.

Существует несколько законов умножения.

Закон первый

Он раскрывает нам сочетательное свойство умножения. Правило звучит следующим образом: чтобы выполнить умножение двух множителей на третий множитель, нужно выполнить умножение множителя первого на произведение второго и третьего множителей.

Общий вид данной формулы выглядит: (NхХ)хА = Nх(ХхА)

Примеры:

(11х12) х 3 = 11 х (12 х 3) = 396;

(13 х 9) х 11 = 13 х (9 х 11) = 1287.

Закон второй

Говорит он нам про переместительное свойство умножения. Правило гласит: при перестановке множителей произведение остается неизменным.

Общая запись выглядит:

NхХхА = АхХхN = ХхNхА.

Примеры:

11 х 13 х 15 = 15 х 13х 11 = 13 х 11 х 15 = 2145;

10 х 14 х 17 = 17 х 14 х 10 = 14 х 10 х 17 = 2380.

Закон третий

В этом законе говорится про распределительное свойство умножения. Правило звучит следующим образом: чтобы выполнить умножение числа на сумму чисел, нужно выполнить умножение этого числа на каждое из данных слагаемых и полученные результаты сложить.

Общая запись будет такая:

Хх(А+N)=ХхА+ХхN.

Примеры:

12 х (13+15) = 12х13 + 12х15 = 156 + 180 = 336;

17х (11 + 19) = 17 х 11 + 17 х 19 = 187 + 323 = 510.

Точно так же распределительный закон работает и в случае вычитания:

Примеры:

12 х (16-11) = 12х 16 – 12 х 11 = 192 – 132 = 60;

13 х (18 – 16) = 13 х 18 – 13 х 16 = 26.

Мы рассмотрели основные свойства умножения.

Разделы: Математика

Цели урока:

1. Получить равенства, выражающие распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания.
2. Научить учащихся применять это свойство слева направо.
3. Показать важное практическое значение этого свойства.
4. Развивать у учащихся логическое мышление. Закрепить навыки работы на компьютере.

Оборудование: компьютеры, плакаты со свойствами умножения, с изображениями машин и яблок, карточки.

Ход урока

1. Вступительное слово учителя.

Сегодня на уроке мы рассмотрим ещё одно свойство умножения, которое имеет важное практическое значение, помогает быстро производить умножение многозначных чисел. Повторим ранее изученные свойства умножения. По ходу изучения новой темы проверим домашнее задание.

2. Решение устных упражнений.

I . На доске запись:

1 – понедельник
2 – вторник
3 – среда
4 – четверг
5 – пятница
6 – суббота
7 – воскресенье

Задание. Задумайте день недели. Умножить номер задуманного дня на 2. Прибавить к произведению 5. Умножить сумму на 5. Увеличить произведение в 10 раз. Назвать результат. Вы загадали... день.

(№ * 2 + 5) * 5 * 10

II . Задание из электронного учебника «Математика 5-11кл. Новые возможности для усвоения курса математики. Практикум». ООО «Дрофа» 2004, ООО «ДОС» 2004, CD – ROM, НФПК». Раздел «Математика. Натуральные числа». Задание №8. Экспресс-контроль. Заполните пустые клетки в цепочке. Вариант 1.

III . На доске:

• a + b
• (a + b) * c
• m – n
• m * c – n * c

2) Упростить:

• 5 * x * 6 * y
• 3 * 2 * а
• а * 8 * 7
• 3 * а * b

3) При каких значениях x равенство обращается в верное:

x + 3 = 3 + x
407 * x = x * 407? Почему?

Какие свойства умножения применялись?

3. Изучение нового материала.

На доске плакат с изображениями машин.

Рисунок 1.

Задание для 1 группы учащихся (мальчиков).

В гараже в 2-х рядах стоят грузовые и легковые машины. Записать выражения.

1. Сколько грузовых машин в 1-ом ряду? Сколько легковых?
2. Сколько грузовых машин во 2-ом ряду? Сколько легковых?
3. Сколько машин всего в гараже?
4. Сколько грузовых машин в 1-ом ряду? Сколько грузовых машин в двух рядах?
5. Сколько легковых машин в 1-ом ряду? Сколько легковых машин в двух рядах?
6. Сколько всего машин в гараже?

Найти значения выражений 3 и 6. Сравнить эти значения. Записать выражения в тетрадь. Прочитать равенство.

Задание для 2 группы учащихся (мальчиков).

В гараже в 2-х рядах стоят грузовые и легковые машины. Что означают выражения:

• 4 – 3
• 4 * 2
• 3 * 2
• (4 – 3) * 2
• 4 * 2 – 3 * 2

Найти значения двух последних выражений.

Значит, между этими выражениями можно поставить знак =.

Прочитаем равенство: (4 – 3) * 2 = 4 * 2 – 3 * 2.

Плакат с изображениями красных и зелёных яблок.

Рисунок 2.

Задание для 3 группы учащихся (девочек).

Составить выражения.

1. Какова масса одного красного и одного зелёного яблока вместе?
2. Какова масса всех яблок вместе?
3. Какова масса всех красных яблок вместе?
4. Какова масса всех зелёных яблок вместе?
5. Какова масса всех яблок?

Найти значения выражений 2 и 5 и сравнить их. Записать это выражение в тетрадь. Прочитать.

Задание для 4 группы учащихся (девочек).

Масса одного красного яблока 100 г, одного зелёного 80 г.

Составить выражения.

1. На сколько г масса одного красного яблока больше, чем зелёного?
2. Какова масса всех красных яблок?
3. Какова масса всех зелёных яблок?
4. На сколько г масса всех красных яблок больше, чем зелёных?

Найти значения выражений 2 и 5.Сравнить их. Прочитать равенство. Только ли для этих чисел верны равенства?

4. Проверка домашнего задания.

Задание. По краткой записи условия задачи поставить главный вопрос, составить выражение и найти его значение при данных значениях переменных.

1 группа

Найти значение выражения при а = 82,b = 21, c = 2.

2 группа

Найти значение выражения при а = 82, b = 21, с= 2.

3 группа

Найти значение выражения при а = 60, b = 40, с = 3.

4 группа

Найти значение выражения при а = 60, b =40, с = 3.

Работа в классе.

Сравнить значения выражений.

Для 1 и 2 групп:(а + b) * с и а * с + b * с

Для 3 и 4 групп:(а – b) * с и а * с – b * с

(а + b) * с = а * с + b * с
(а – b) * с = а * с – b * с

Итак, для любых чисел а, b, с верно:

• При умножении суммы на число можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные произведения.
• При умножении разности на число можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.
• При умножении суммы или разности на число умножение распределяется на каждое число, заключённое в скобках. Поэтому это свойство умножения называется распределительным свойством умножения относительно сложения и вычитания.

Прочитаем формулировку свойства по учебнику.

5. Закрепление нового материала.

Выполнить №548. Примените распределительное свойство умножения.

• (68 + а) * 2
• 17 * (14 – x)
• (b – 7) * 5
• 13 * (2 + y)

1) Выбирай задания на оценку.

Задания на оценку «5».

Пример 1. Найдём значение произведения 42 * 50. Представим число 42 в виде суммы чисел 40 и 2.

Получим: 42 * 50 = (40 + 2) * 50. Теперь применим распределительное свойство:

42 * 50 = (40 + 2) * 50 = 40 * 50 + 2 * 50 = 2 000 +100 = 2 100.

Аналогично решить №546:

а) 91 * 8
в) 6 * 52
д) 202 * 3
ж) 24 * 11
з) 35 * 12
и) 4 * 505

Представить числа 91,52, 202, 11, 12, 505 в виде суммы десятков и единиц и применить распределительное свойство умножения относительно сложения.

Пример 2. Найдём значение произведения 39 * 80.

Представим число 39 в виде разности 40 и 1.

Получим: 39 * 80 = (40 – 1) = 40 * 80 – 1 * 80 = 3 200 – 80 = 3 120.

Решить из №546:

б) 7 * 59
е) 397 * 5
г) 198 * 4
к) 25 * 399

Представить числа 59, 397, 198, 399 в виде разности десятков и единиц и применить распределительное свойство умножения относительно вычитания.

Задания на оценку «4».

Решить из №546 (а, в, д, ж, з, и). Применить распределительное свойство умножения относительно сложения.

Решить из № 546 (б, г, е, к). Применить распределительное свойство умножения относительно вычитания.

Задания на оценку «3».

Решить №546 (а, в, д, ж, з, и). Применить распределительное свойство умножения относительно сложения.

Решить №546 (б, г, е, к).

Для решения задачи №552 составить выражение и выполнить рисунок.

Расстояние между двумя сёлами 18 км. Из них выехали в разные стороны два велосипедиста. Один проезжает в час m км, а другой n км. Какое расстояние будет между ними через 4 ч?

Заполнить квадратики.

При каких значениях x верно равенство:

а) 3 * (x + 5) = 3 * x + 15
б) (3 + 5) * x = 3 * x + 5 * x
в) (7 + x) * 5 = 7 * 5 + 8 * 5
г) (x + 2) * 4 = 2 * 4 + 2 * 4
д) (5 – 3) * x = 5 * x – 3 * x
е) (5 – 3) * x = 5 * x – 3 * 2

Распределительное свойство умножения позволяет нам быстро умножать многозначные числа.

2) Продолжим проверку домашнего задания.

1) Выполнить умножение:

2) Найти ошибку:

А почему умножение этих чисел надо записывать так, как в предпоследнем примере?

Оказывается, умножение «столбиком» многозначных чисел также основано на распределительном свойстве умножения.

Рассмотрим пример:

Поэтому произведение 423 на 50 начинаем записывать под десятками.

(Устно. Примеры записаны на обратной стороне доски.)

Вместо поставьте пропущенные цифры:

Задание из электронного учебника «Математика 5-11кл. Новые возможности для усвоения курса математики. Практикум». ООО «Дрофа» 2004, ООО «ДОС» 2004, CD – ROM, НФПК». Раздел «Математика. Натуральные числа». Задание №7. Экспресс-контроль. Восстановите пропавшие цифры.

6. Подведение итогов урока.

Итак, мы рассмотрели распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания. Повторим формулировку свойства, прочитаем равенства, выражающие свойство. Применение распределительного свойства умножения слева направо можно выразить условием «раскрыть скобки», т. к. в левой части равенства выражение было заключено в скобки, а в правой скобок нет. При решении устных упражнений на отгадывание дня недели мы тоже использовали распределительное свойство умножения относительно сложения.

(№ * 2 + 5) * 5 * 10 = 100 * № + 250, а затем решали уравнение вида:
100 * № + 250 = а